Question

1．设点F（0，$\frac{1}{2}$），动圆P经过点F且和直线y=-$\frac{1}{2}$相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点F（0，$\frac{1}{2}$）的直线l与曲线E交于P、Q两点，设N（0，a）（a＜0），$\overrightarrow{NP}$与$\overrightarrow{NQ}$的夹角为θ，若θ≤$\frac{π}{2}$，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：动圆的圆心P的轨迹曲线E为抛物线：x²=2y．
（2）设直线l的方程为：y=kx+$\frac{1}{2}$，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线方程与抛物线方程联立化为：x²-2kx-1=0，
$\overrightarrow{NP}$=（x₁，y₁-a），$\overrightarrow{NQ}$=（x₂，y₂-a）．根据$\overrightarrow{NP}$与$\overrightarrow{NQ}$的夹角为θ，θ≤$\frac{π}{2}$，可得$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{NQ}$=x₁x₂+（y₁-a）（y₂-a）≥0．把根与系数的关系代入化简即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：动圆的圆心P的轨迹曲线E为抛物线：x²=2y．
（2）设直线l的方程为：y=kx+$\frac{1}{2}$，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，化为：x²-2kx-1=0，
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=-1．
$\overrightarrow{NP}$=（x₁，y₁-a），$\overrightarrow{NQ}$=（x₂，y₂-a）．
∵$\overrightarrow{NP}$与$\overrightarrow{NQ}$的夹角为θ，θ≤$\frac{π}{2}$，
∴$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{NQ}$=x₁x₂+（y₁-a）（y₂-a）=x₁x₂+$（k{x}_{1}+\frac{1}{2}-a）$$（k{x}_{2}+\frac{1}{2}-a）$=（1+k²）x₁x₂+k$（\frac{1}{2}-a）$（x₁+x₂）+$（\frac{1}{2}-a）^{2}$≥0．
∴-（1+k²）+k$（\frac{1}{2}-a）$（2k）+$（\frac{1}{2}-a）^{2}$≥0．a＜0．
化为：k²≥$\frac{{a}^{2}-a-\frac{3}{4}}{2a}$，
∴a²-a-$\frac{3}{4}$≥0，a＜0，
解得：$a≤-\frac{1}{2}$．
∴实数a的取值范围是$（-∞，-\frac{1}{2}]$．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．