Question

13．已知函数y=x²lnx．
（1）求这个函数的图象在x=1处的切线方程；
（2）若过点（0，0）的直线l与这个函数图象相切，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，即可得到所求切线的方程；
（2）设切点为（m，m²lnm），可得切线的斜率，以及切线的方程，代入原点，解方程可得m，进而得到切线的斜率和切线l的方程．

解答 解：（1）函数y=x²lnx的导数为y′=2xlnx+x，
函数的图象在x=1处的切线斜率为2ln1+1=1，
切点为（1，0），
可得切线的方程为y-0=x-1，
即为y=x-1；
（2）设切点为（m，m²lnm），
可得切线的斜率为2mlnm+m，
即有切线的方程为y-m²lnm=（2mlnm+m）（x-m），
由于直线l过（0，0），可得-m²lnm=（2mlnm+m）（-m），
由m＞0，可得-lnm=-2lnm-1，
即为lnm=-1，解得m=$\frac{1}{e}$，
可得切线的斜率为-$\frac{1}{e}$，
则切线l的方程为y=-$\frac{1}{e}$x．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，注意区别“在某点处”和“过某点”的切线，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于中档题．