Question

7．已知函数f（x）=log₂（3+x）-log₂（3-x），
（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）已知f（sinα）=1，求α的值．

Answer 1

分析 （1）要使函数f（x）=log₂（3+x）-log₂（3-x）有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{3+x＞0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$⇒-3＜x＜3即可，
由f（-x）=log₂（3-x）-log₂（3+x）=-f（x），可判断函数f（x）为奇函数．
（2）令f（x）=1，即$\frac{3+x}{3-x}=2$，解得x=1．即sinα=1，可求得α．

解答 解：（1）要使函数f（x）=log₂（3+x）-log₂（3-x）有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{3+x＞0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$⇒-3＜x＜3，
∴函数f（x）的定义域为（-3，3）；
∵f（-x）=log₂（3-x）-log₂（3+x）=-f（x），∴函数f（x）为奇函数．
（2）令f（x）=1，即$\frac{3+x}{3-x}=2$，解得x=1．
∴sinα=1，
∴α=2k$π+\frac{π}{2}$，（k∈Z）．

点评 本题考查了对数型函数的定义域、奇偶性、解不等式，属于中档题．