Question

18．函数$f（x）=\frac{3}{sinx}-\frac{1}{tanx}，x∈（0，\frac{π}{2}）$的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 $f（x）=\frac{3}{sinx}-\frac{cosx}{sinx}=\frac{3-cosx}{sinx}$，令$\frac{3-cosx}{sinx}=k$，则有ksinx+cosx=3⇒$\sqrt{{k}^{2}+1}sin（x+θ）=3$⇒sin（x+θ）=$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}≤1$即可求解．

解答 解：$f（x）=\frac{3}{sinx}-\frac{cosx}{sinx}=\frac{3-cosx}{sinx}$，
令$\frac{3-cosx}{sinx}=k$，则有ksinx+cosx=3⇒$\sqrt{{k}^{2}+1}sin（x+θ）=3$，
⇒sin（x+θ）=$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}≤1$，
⇒k²≥8，∴函数$f（x）=\frac{3}{sinx}-\frac{1}{tanx}，x∈（0，\frac{π}{2}）$的最小值为2$\sqrt{2}$，
故答案为：$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角函数的最值求法，考查了转化思想，计算能力，属于中档题．