Question

8．设F₁，F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，点F₁到双曲线渐近线的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$|OF₁|（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 求得椭圆的焦点及渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c，求得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c，利用双曲线的离心率公式即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程：y=±$\frac{b}{a}$x，左焦点F₁（-c，0），
则F₁（-c，0）到ay±bx=0的距离d=$\frac{丨a×0+b×（-c）丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b，
由d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|OF₁|，则b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c，a²=c²-b²=c²-$\frac{1}{2}$c²=$\frac{1}{2}$c²，即a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c，
双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故选B．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于基础题．