Question

3．设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称为“优美函数”，若函数$f（x）={log_2}（{4^x}+t）$为“优美函数”，则t的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{1}{4}，+∞）$
• B． （0，1）
• C． $（0，\frac{1}{2}）$
• D． $（0，\frac{1}{4}）$

Answer 1

分析 由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围．

解答 解：$f（x）={log_2}（{4^x}+t）$为增函数，存在[a，b]⊆D（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（{4}^{a}+t）=a}\\{lo{g}_{2}（{4}^{b}+t）=b}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{4}^{a}+t={2}^{a}}\\{{4}^{b}+t={2}^{b}}\end{array}\right.$
∴a，b是方程为4^x-2^x+t=0的两个不等的根，
设2^x=m，
∴m²-m+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4t＞0}\\{t＞0}\end{array}\right.$，
解得0＜t$＜\frac{1}{4}$，
故选：D．

点评 本题考察了函数的值域问题，解题时构造函数，渗透转化思想，是中档题．