Question

13．如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．证明：CA是△ABC外接圆的直径．

Answer 1

分析 B，E，F，C四点共圆，可得∠DBC=∠EAF．根据CD为△ABC外接圆的切线，可得∠BCD=∠FAE．由已知可证明：△BCD∽△FAE，可得∠DBC=∠EFA．可得∠CBA=90°．即可证明CA是△ABC外接圆的直径．

解答 证明：∵B，E，F，C四点共圆，∴∠DBC=∠EAF．
∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠BCD=∠FAE．
在△BCD与△FAE中，
∵BC•AE=DC•AF，即$\frac{BC}{FA}$=$\frac{DC}{EA}$，又∠BCD=∠FAE．
∴△BCD∽△FAE，
∴∠DBC=∠EFA．
∴∠DBC=∠CBA，
又∠DBC+∠CBA=180°，
∴∠CBA=90°．
∴CA是△ABC外接圆的直径．

点评 本题考查了四点共圆的性质、相似三角形的判定与性质定理、弦切角定理、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．