Question

5．函数f（x）=a^x-xlna（a＞0且a≠1）的最小值为1．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数的解析式，对实数a分类讨论后，分别令y′＞0，y′＜0，求得单调区间，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：∵f（x）=a^x-xlna，
∴f′（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna，
当a＞1时，lna＞0，
令f′（x）＞0，即a^x-1＞0，解得x＞0
令f′（x）＜0，即a^x-1＜0，解得x＜0；
当0＜a＜1时，lna＜0，
令f′（x）＞0，即a^x-1＜0，解得x＞0
令f′（x）＜0，即a^x-1＞0，解得x＜0；
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
∴f（x）的最小值是f（0）=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．