Question

椭圆Γ：

x2

25

+

y2

r2

=1（r＞0）的左顶点为A，直线x=4交椭圆Γ于B，C两点（C上B下），动点P和定点D（-4，6）都在椭圆Γ上．
（1）求椭圆方程及四边形ABCD的面积；
（2）若四边形ABCP为梯形，求点P的坐标；
（3）若m，n为实数，

BP

=m

BA

+n

BC

，求m+n的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由于定点D（-4，6）在椭圆Γ上，可得

(-4)2

25

+

62

r2

=1，解得r²=100，即可得出椭圆Γ的方程为．与x=4联立即可解得B，C的坐标．由于DC∥x轴，可得S_{四边形ABCD}等于梯形ADCE与直角三角形ABE的面积之和．
（2）若四边形ABCP为梯形，则CP∥AB，

CP

∥

AB

．设P（x，y），利用向量共线定理可得2x+3y-26=0．与椭圆方程联立即可解出．
（3）设P（x，y），则

BP

=(x-4，y+6)，

BA

=（-9，6），

BC

=（0，12）．

BP

=m

BA

+n

BC

，利用向量坐标运算可得

x-4=-9m y+6=6m+12n

，代入椭圆方程可得：5m²+2mn+2n²-5m-2n=0．令m+n=k，则n=k-m，代入上式可得：5m²-（2k+3）m+2k²-2k=0，根据此方程由实数根，可得△≥0，解出即可．

解答： 解：（1）∵定点D（-4，6）在椭圆Γ上，∴

(-4)2

25

+

62

r2

=1，解得r²=100．
∴椭圆Γ的方程为：

x2

25

+

y2

100

=1．
联立

x=4 x2 25 + y2 100 =1

，解得

x=4 y=6

或

x=4 y=-6

．
即C（4，6），B（4，-6）．
DC∥x轴，
可得S_{四边形ABCD}=

1

2

×(8+9)×6+

1

2

×9×6=78．
（2）若四边形ABCP为梯形，则CP∥AB，∴

CP

∥

AB

．
设P（x，y），则

CP

=（x-4，y-6），

.

AB

=（9，-6）．
∴9（y-6）+6（x-4）=0，化为2x+3y-26=0．
联立

2x+3y-26=0 4x2+y2=100

，解得

x=- 7 5 y= 48 5

或

x=4 y=6

（舍去）．
∴P(-

7

5

，

48

5

)．
（3）设P（x，y），则

BP

=(x-4，y+6)，

BA

=（-9，6），

BC

=（0，12）．
∵

BP

=m

BA

+n

BC

，∴（x-4，y+6）=m（-9，6）+n（0，12），
∴

x-4=-9m y+6=6m+12n

，化为

x=4-9m y=6m+12n-6

．
代入椭圆方程可得：5m²+2mn+2n²-5m-2n=0．
令m+n=k，则n=k-m，代入上式可得：5m²-（2k+3）m+2k²-2k=0，
∵此方程由实数根，∴△≥0，化为36k²-52k-9≤0，
解得

13-5 10

18

≤k≤

13+5 10

18

．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、向量的坐标运算、一元二次方程由实数根与判别式的关系、梯形与三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．