Question

在△ABC中，己知AC=3，∠A=45°，点D满足

CD

=2

DB

，且AD=

13

，则BC的长为

 

．

Answer 1

考点：向量数乘的运算及其几何意义

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：以A为坐标原点，点C在x轴上建立平面直角坐标系，如图所示，C（3，0），设B（t，t），根据

CD

=2

DB

，得出D点的坐标，利用AD的长，求出t的值，确定出B的坐标，即得BC的长．

解答： 解：根据题意，以A为坐标原点，点C在x轴上建立平面直角坐标系，
如图所示；
则C（3，0），
∵∠A=45°，
∴设B（t，t），其中t＞0，D（x，y）；
根据

CD

=2

DB

，
得（x-3，y）=2（t-x，t-y），
即

x-3=2(t-x) y=2(t-y)

，
解得x=

2t+3

3

，y=

2t

3

，
∴D（

2t+3

3

，

2t

3

）；
又∵AD=

13

，
∴(

2t+3

3

)2+(

2t

3

)2=13，
解得t=3或t=-

9

2

（舍去）；
∴B（3，3），即BC=3．
故答案为：3．

点评：此题考查了向量数乘得运算及其几何意义，根据题意做出适当的图形是解本题的关键．