Question

对于函数f（x），若在其定义域内存在两个实数a，b（a＜b），使当x∈[a，b]时，f（x）的值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“布林函数”，区间[a，b]称为函数f（x）的“等域区间”．若函数f（x）=k+

x+2

是布林函数，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）=k+

x+2

是增函数，结合布林函数的概念可得，则存在实数a，b（-2≤a＜b），使

f(a)=a f(b)=b

，由此可得a，b是方程x=k+

x+2

的量和实数根，从而方程k=x-

x+2

有两个不等实根，令

x+2

=t换元后结合图象得答案．

解答： 解：∵f（x）=k+

x+2

是增函数，若f（x）=k+

x+2

是布林函数，
则存在实数a，b（-2≤a＜b），使

f(a)=a f(b)=b

，即

a=k+ a+2 b=k+ b+2

，
∴a，b是方程x=k+

x+2

的量和实数根，
从而方程k=x-

x+2

有两个不等实根，
令

x+2

=t，则k=t²-t-2（t≥0），
如图，

当t=0时，k=-2；当t=

1

2

时，k=-

9

4

．
由图可知，当-

9

4

＜k≤-2时，直线y=k与曲线y=t²-t-2（t≥0）有两个不同交点．
即方程k=x-

x+2

有两个不等实根．
∴实数k的取值范围是(-

9

4

，-2]．
故答案为：(-

9

4

，-2]．

点评：本题是新概念题，考查了方程的根与函数的图象，考查了函数的值域，是中档题．