Question

已知点P（0，5），圆C：x²+y²+4x-12y+24=0，过P点的直线l与圆C相交于A，B两点．

（1）若弦AB的长为4

3

，求直线l的方程
（2）若弦AB的长有最小值时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）求圆C的方程：x²+y²+4x-12y+24=0，我们可以求出圆心C的坐标和圆的半径r，结合直线l被圆C截得的线段AB长，代入圆的弦长公式，可得弦心距d，再由点到直线距离公式，可求出直线l的斜率，由直线l过点P，可得直线的点斜式方程．解答时要注意直线l的斜率不存在时，也满足题意．
（2）弦AB的长有最小值时，CP⊥AB，求出斜率，即可求直线l的方程．

解答： 解：（1）由已知得（x+2）²+（y-6）²=16
∴圆C的圆心C（-2，6），半径为4．
由已知|AB|=4

3

，|AC|=4
设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，
∴|AD|=2

3

，
在Rt△ACD中，可得|CD|=2．
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y-5=kx，
即kx-y+5=0．由点C到直线AB的距离公式：

|-2k-6+5|

k2+1

=2，得k=

3

4

，…
此时直线l的方程为3x-4y+20=0．
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x=0．
∴所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0．
（2）弦AB的长有最小值时，CP⊥AB，
∵k_CP=-

1

2

，∴k_AB=2，
∴弦AB的长有最小值时，直线l的方程为y=2x+5．

点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，求直线的方程，求圆的方程，属于中档题．