【题目】在三棱柱中,侧面
为矩形,
,
,
是
的中点,
与
交于点
,且
平面
.
(1)证明: ;
(2)若,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)证明线线垂直,一般利用线面垂直判定与性质定理,经多次转化得到,而线线垂直的寻找与论证,往往需要结合平几知识进行:如本题就可利用三角形相似得到,再由线面垂直
平面
得到线线垂直
,因此得到
平面
,即
(2)由(1)中垂直关系可建立空间直角坐标系,利用空间向量求线面角:先求出各点坐标,表示出直线方向向量,再利用方程组解出平面法向量,利用向量数量积求出向量夹角,最后根据线面角与向量夹角互余关系求解
试题解析:(1)由题意,
又,∴
,
∴,
∵,∴
,又
平面
,∴
,
∵与
交于点
,∴
平面
,又
平面
,
∴.
(2)
如图,分别以所在直线为
轴,以
为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,则
,
设平面的法向量为
,
则,即
,
令,则
,所以
.
设直线与平面
所成角为
,则
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【题目】已知向量,
(
),若
,且
的图象上两相邻对称轴间的距离为
.
(Ⅰ)求的单调递减区间;
(Ⅱ)设的内角
,
,
的对边分别为
,
,
,且满足
,
,
,求
,
的值.
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【题目】[选修4-4,坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为
,以坐标原点为极点,以
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
。
(1)求直线的直角坐标方程和曲线C的普通方程。
(2)设点P为曲线C上的任意一点,求点P到直线的距离的最大值。
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【题目】已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,离心率
.以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8,面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若点为椭圆
上一点,直线
的方程为
,求证:直线
与椭圆
有且只有一个交点.
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【题目】(2016高考新课标II,理15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.
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【题目】在正四棱锥中,已知异面直线
与
所成的角为
,给出下面三个命题:
:若
,则此四棱锥的侧面积为
;
:若
分别为
的中点,则
平面
;
:若
都在球
的表面上,则球
的表面积是四边形
面积的
倍.
在下列命题中,为真命题的是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若直线l的极坐标方程为,曲线C的极坐标方程为:
,将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,然后再向右平移一个单位得到曲线C1.
(1)求曲线C1的直角坐标方程;
(2)已知直线l与曲线C1交于A,B两点,点P(2,0),求|PA|+|PB|的值.
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【题目】已知数列中,
,且
对任意正整数
都成立,数列
的前
项和为
.
(1)若,且
,求
;
(2)是否存在实数,使数列
是公比为1的等比数列,且任意相邻三项
按某顺序排列后成等差数列,若存在,求出所有
的值;若不存在,请说明理由;
(3)若,求
.(用
表示).
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