Question

11．已知x为实数，则$y=\sqrt{27-3x}+\sqrt{5x-15}$的最大值为$4\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 易知3≤x≤9，通过求导、判定函数在定义域上的单调性，进而计算可得结论．

解答 解：∵$y=\sqrt{27-3x}+\sqrt{5x-15}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{27-3x≥0}\\{5x-15≥0}\end{array}\right.$，即3≤x≤9，
又∵y′=$\frac{1}{2}$•（-3）•$\frac{1}{\sqrt{27-3x}}$+$\frac{1}{2}•5•$$\frac{1}{\sqrt{5x-15}}$
=$\frac{5\sqrt{27-3x}-3\sqrt{5x-15}}{2\sqrt{27-3x}•\sqrt{5x-15}}$，
利用y′=0即5$\sqrt{27-3x}$=3$\sqrt{5x-15}$，解得：x=$\frac{27}{4}$，
显然当3≤x＜$\frac{27}{4}$时，y′＞0；
当$\frac{27}{4}$＜x≤9时，y′＜0；
∴当x=$\frac{27}{4}$时取最大值y_max=$\sqrt{27-3•\frac{27}{4}}$+$\sqrt{5•\frac{27}{4}-15}$=$4\sqrt{3}$，
故答案为：$4\sqrt{3}$．

点评 本题考查函数的最值，利用导数是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．