Question

已知函数f（x）=sin2x-2

3

cos²x+

3

+a．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）设x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最小值是-2，求f（x）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换，将y=f（x）整理可得f（x）=2sin（2x-

π

3

）+a，令2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，即可求得函数f（x）的单调递减区间；
（2）0≤x≤

π

2

⇒-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

⇒-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，依题意，即可求得a的值，继而可得f（x）的最大值．

解答： 解析：（1）f（x）=sin2x-

3

（1+cos2x）+

3

+a
=sin2x-

3

cos2x+a
=2sin（2x-

π

3

）+a，
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]（k∈Z）…（6分）
（2）∵0≤x≤

π

2

，-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
∴f（x）_min=-

3

+a；f（x）_max=2+a，令-

3

+a=-2得a=

3

-2，
所以f（x）_max=2+

3

-2． …（12分）

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．