Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），且当x∈[-2，0]时，f(x)=(

1

3

)x-6
，若在区间（-2，6]内关于x的f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（　　）

• A、（1，2）
• B、（2，+∞）
• C、(1，

  3	4

  )
• D、(

  3	4

  ，2)

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据指数函数的图象可画出：当x∈[-2，0]时，f(x)=(

1

3

)x-6的图象．根据偶函数的对称性质画出[0，2]的图象，再根据周期性：对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），画出[2，6]的图象．画出函数y=log_a（x+2）（a＞1）的图象．利用在区间（-2，6]内关于x的f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，即可得出．

解答： 解：如图所示，
当x∈[-2，0]时，f(x)=(

1

3

)x-6，可得图象．
根据偶函数的对称性质画出[0，2]的图象，再根据周期性：对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），
画出[2，6]的图象．
画出函数y=log_a（x+2）（a＞1）的图象．
∵在区间（-2，6]内关于x的f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，
∴log_a8＞3，log_a4＜3，
∴4＜a³＜8，
解得

3	4

＜a＜2．
故选：D．

点评：本题考查了指数函数的图象与性质、函数的奇偶性、周期性，考查了方程的实数根转化为函数图象的交点个数，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．