Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF₁|=|F₁F₂|，且3|PF₂|=2|QF₂|，则该双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出双曲线的焦点，运用双曲线的定义求得|PF₂|=|PF₁|-2a=2c-2a，结合条件可得|QF₁|=|QF₂|+2a=3c-a，在△PF₁F₂和△QF₁F₂中，分别运用余弦定理以及∠F₁F₂Q+∠F₁F₂P=π，得cos∠F₁F₂Q+cos∠F₁F₂P=0，化简整理，由离心率公式计算即可得到．

解答： 解：设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），
则|PF₁|=|F₁F₂|=2c，
由双曲线的定义可得|PF₂|=|PF₁|-2a=2c-2a，
由3|PF₂|=2|QF₂|，
可得|QF₂|=3c-3a，
由双曲线的定义可得|QF₁|=|QF₂|+2a=3c-a，
在△PF₁F₂和△QF₁F₂中，
cos∠F₁F₂P=

|F1F2|2+|PF2|2-|PF1|2

2|F1F2|•|PF2|

=

4c2+4(c-a)2-4c2

2•2c•2(c-a)

=

c-a

2c

，
cos∠F₁F₂Q=

|F1F2|2+|QF2|2-|QF1|2

2|F1F2|•|QF2|

=

4c2+9(c-a)2-(3c-a)2

2•2c•3(c-a)

=

c-2a

3c

，
由∠F₁F₂Q+∠F₁F₂P=π，可得cos∠F₁F₂Q+cos∠F₁F₂P=0，
即有

c-a

2c

+

c-2a

3c

=0，即有5c=7a，
即有e=

c

a

=

7

5

．
故答案为：

7

5

．

点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，运用双曲线的定义和余弦定理是解题的关键，属于中档题和易错题．