Question

已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a₁，a₂，a₃，a₄，点P为四边形内任意一点，且点P到四边的距离分别记为h₁，_h2，h₃，h₄，若

a1

1

=

a2

2

=

a3

3

=

a4

4

=k，则h₁+2h₂+3h₃+4h₄=

2S

k

类比以上性质，体积为y的三棱锥的每个面的面积分别记为S_l，S₂，S₃，S₄，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H₁，H₂，H₃，H₄，若

S1

1

=

S2

2

=

S3

3

=

S4

4

=K，则H₁+2H₂+3H₃+4H₄=（　　）

• A、

  4V

  K

• B、

  3V

  K

• C、

  2V

  K

• D、

  V

  K

Answer 1

考点：类比推理

专题：计算题,推理和证明

分析：由

a1

1

=

a2

2

=

a3

3

=

a4

4

=k可得a_i=ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边形的四个定点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱值得体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积．

解答： 解：根据三棱锥的体积公式V=

1

3

Sh，
得：

1

3

S₁H₁+

1

3

S₂H₂+

1

3

S₃H₃+

1

3

S₄H₄=V
即S₁H₁+2S₂H₂+3S₃H₃+4S₄H₄=3V，
∴H₁+2H₂+3H₃+4H₄=

3V

K

，
故选B．

点评：本题主要考查三棱锥的体积计算和运用类比思想进行推理的能力．解题的关键是理解类比推理的意义，掌握类比推理的方法．平面几何的许多结论，可以通过类比的方法，得到立体几何中相应的结论．当然，类比得到的结论是否正确，则是需要通过证明才能加以肯定的．