Question

已知a，b∈R，a+b=1，x₁•x₂∈R．
（1）求

x1

a

+

x2

b

+

2

x1x2

的最小值；
（2）求证：（ax₁+bx₂）（ax₂+bx₁）＞x₁x₂．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：综合题,推理和证明

分析：（1）利用基本不等式，即可求出

x1

a

+

x2

b

+

2

x1x2

的最小值；
（2）展开，利用基本不等式可得结论．

解答： （1）解：∵a，b∈R，a+b=1，x₁，x₂∈R，
∴

x1

a

+

x2

b

+

2

x1x2

≥3

3	x1 a • x2 b • 2 x1x2

=3

3	2 ab

≥3

3	2 ( a+b 2 )2

=6，
当且仅当a=b=0.5，x₁=x₂=1时，

x1

a

+

x2

b

+

2

x1x2

的最小值为6；
（2）证明：（ax₁+bx₂）（ax₂+bx₁）=（a²+b²）x₁x₂+ab（x₁²+x₂²）
≥（a²+b²）x₁x₂+2abx₁x₂=（a+b）²x₁x₂≥x₁x₂．

点评：本题考查基本不等式的运用，考查最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．