Question

5．已知三点A（1，-1），B（3，0），C（2，1），P为平面ABC上的一点，$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=0，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$=3．
（1）求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$；
（2）求λ+μ 的值．

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$的坐标，代入向量的坐标运算公式计算数量积；
（2）用λ，μ表示出$\overrightarrow{AP}$的坐标，根据向量的数量积公式列方程组求出λ+μ．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=（2，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，2），
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2×1+1×2=4．
（2）$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$=（2λ+μ，λ+2μ），
∵$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}=3}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{4λ+2μ+λ+2μ=0}\\{2λ+μ+2λ+4μ=3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{5λ+4μ=0}\\{4λ+5μ=3}\end{array}\right.$，
两式相加得：9λ+9μ=3，
∴λ+μ=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算，数量积运算，属于中档题．