Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和⊙C₂：x²+y²=r²（r＞0）都经过点P（-1，0），且椭圆C₁的离心率e=

2

2

，过点P作斜率为k₁，k₂的直线l₁，l₂分别交椭圆C₁、⊙C₂于点A，B，C，D，k₁=λk₂．
（1）求椭圆C₁和⊙C₂的方程；
（2）若直线BC恒过定点Q（1，0）求实数λ的值；
（3）当k₁=

1

2

时，求△PAC面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

e= c a = 2 2 1 a2 =1

，1=r²，由此能求出椭圆C₁和⊙C₂的方程．
（2）设直线BC为y=k₁（x+1），联立

y=k1(x+1) x2+2y2=1

，得(1+2k12)x2+4k12x+2k12-1=0，联立

y=k1(x+1) x2+y2=1

，得(1+k12)x2+2k12x+k12-1=0，由此结合已知条件求出λ=2．
（3）当k₁=

1

2

时，A（

1

3

，

2

3

），|PA|=

2 5

3

，dc-l1=

|2-4k2|

5 (1+2k22)

，由此能求出△PAC面积的最大值．

解答： 解：（1）∵椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），且椭圆C₁的离心率e=

2

2

，
∴

e= c a = 2 2 1 a2 =1

，解得a=1，c=

2

2

，
∴b2=1-

1

2

=

1

2

，
∴椭圆C₁的方程为x²+2y²=1．
∵⊙C₂：x²+y²=r²（r＞0）经过点P（-1，0），
∴1=r²，
∴⊙C₂的方程为x²+y²=1．
（2）设直线BC为y=k₁（x+1），
∵过点P作斜率为k₁，k₂的直线l₁，l₂分别交椭圆C₁、⊙C₂于点A，B，C，D，
联立

y=k1(x+1) x2+2y2=1

，得(1+2k12)x2+4k12x+2k12-1=0，
联立

y=k1(x+1) x2+y2=1

，得(1+k12)x2+2k12x+k12-1=0，
∴A（

1-2k12

1+2k12

，

2k1

1+k22

），B（

1-k12

1+k12

，

2k1

1+k12

），C（

1-2k22

1+2k22

，

2k2

1+2k22

），D（

1-k22

1+k22

，

2k2

1+k22

），
∵k₁=λk₂．直线BC恒过定点Q（1，0），
∴

QB

∥

QC

，
∴（

-2k12

1+k12

，

2k1

1+k12

）∥（

-4k22

1+2k22

，

2k2

1+k22

），
∴k₁=2k₂，解得λ=2．
（3）当k₁=

1

2

时，A（

1

3

，

2

3

），
∴|PA|=

2 5

3

，dc-l1=

|2-4k2|

5 (1+2k22)

，
∴S=

2|1-2k2|

3(1+2k22)

≤

1+ 3

3

，
∴k₂=

1- 3

2

时，（S_△PAC）_max=

3 +1

3

．

点评：本题考查椭圆方程和圆的方程的求法，考查实数值的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．