Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，且，点E为线段PD的中点.

（1）求证：平面AEC；

（2）求证：平面PCD；

（3）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）连结BD，交AC于点O，连结OE．可得PB∥OE，再由线面平行的判定可得PB∥平面AEC；

（2）由PA=AD，E为线段PD的中点，得AE⊥PD，再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，由线面垂直的判定可得AE⊥平面PCD；

（3）根据AE⊥平面PCD，结合三棱锥的体积公式求出其体积即可．

(1)证明：连结BD，交AC于点O，连结OE，

如图示：

∵O是正方形ABCD对角线交点，∴O为BD的中点，

由已知E为线段PD的中点,∵PB∥OE，

又OE平面AEC，PB平面AEC，

∴PB∥平面AEC；

(2)证明：∵PA=AD，E为线段PD的中点，∴AE⊥PD，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，

在正方形ABCD中，CD⊥AD，又PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，又AE平面PAD，

∴CD⊥AE，又PD∩CD=D，

∴AE⊥平面PCD；

(3)由平面ABCD，，点E为线段PD的中点，

∴为等腰直角三角形，，

底面ABCD是正方形，CD=3，

∵AE⊥平面PCD，

故三棱锥APCE的体积：

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