Question

19．如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在边BC上，AD⊥C₁D．
（1）求证：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）如果点E是B₁C₁的中点，求证：AE∥平面ADC₁．

Answer 1

分析 （1）推导出AD⊥C₁D，从而CC₁⊥平面ABC，进而AD⊥CC₁，由此能证明AD⊥平面BCC₁B₁．即平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁
（2）由AD⊥BC，得D是BC中点，连结ED，得四边形AA₁DE是平行四边形，由此能证明A₁E∥平面ADC₁．

解答 证明：（1）∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在边BC上，AD⊥C₁D，
∴CC₁⊥平面ABC，又AD?平面ABC，∴AD⊥CC₁，
又C₁D∩CC₁=C₁，∴AD⊥平面BCC₁B₁．
AD?面ADC₁，∴平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁
（2）∵AD⊥平面BCC₁B₁，∴AD⊥BC，
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=AC，∴D是BC中点，
连结ED，∵点E是C₁B₁的中点，
∴AA₁∥DE且AA₁=DE，∴四边形AA₁DE是平行四边形，
∴A₁E∥AD，
又A₁E?面ADC₁，AD?平面ADC₁．
∴A₁E∥平面ADC₁．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题、书写的规范性，注意空间思维能力的培养．