Question

7．如图，定圆C半径为2，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C不共线，且|$\overrightarrow{AB}$$-t\overrightarrow{AC}$|$≥|\overrightarrow{BC}$|对任意t∈（0，+∞）恒成立，则 $\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=4．

Answer 1

分析 对|$\overrightarrow{AB}$$-t\overrightarrow{AC}$|≥|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|两边平方，并设$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=m，整理可得关于t的一元二次不等式，再由不等式恒成立思想，运用判别式小于等于0，求得m的值．

解答 解：|$\overrightarrow{AB}$$-t\overrightarrow{AC}$|≥|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，
两边平方可得，${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2t$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+t²${\overrightarrow{AC}}^{2}$≥${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$，
设$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=m，
则2²t²-2tm-（2²-2m）≥0，
又|$\overrightarrow{AB}$$-t\overrightarrow{AC}$|$≥|\overrightarrow{BC}$|对任意t∈（0，+∞）恒成立，
则判别式△=4m²+4×4（4-2m）≤0，
化简可得（m-4）²≤0，
由于（m-4）²≥0，则m=4，
即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，以及不等式恒成立问题，是综合题．