Question

8．已知f（x）=|x-1|+|x+1|．
（1）求f（x）≤x+2的解集；
（2）若任意x∈R使不等式$f（x）≥\frac{2}{9}（{a^2}+\frac{a}{2}+9）$成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，得到各个区间上的x的范围，取并集即可；（2）求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）由f（x）≤x+2，
得$\left\{\begin{array}{l}x+2≥0\\ x≤-1\\ 1-x-x-1≤x+2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x+2≥0\\-1＜x＜1\\ 1-x+x+1≤x+2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x+2≥0\\ x≥1\\ x-1+x+1≤x+2\end{array}\right.$，
解之得0≤x≤2，
∴f（x）≤x+2的解集为{x|0≤x≤2}．
（2）由题可得，f（x）_min≥$\frac{2}{9}$（a²+$\frac{a}{2}$+9），
而f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x≥1}\\{2，-1＜x＜1}\\{-2x，x≤-1}\end{array}\right.$，
∵f（x）_min=2，
∴$9≥{a^2}+\frac{a}{2}+9$，
∴$a∈[{-\frac{1}{2}，0}]$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．