Question

1．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）+xf'（x）＜xf（x）对x∈R恒成立，则（　　）

• A． $\frac{2}{e}f（2）＜f（1）$
• B． $\frac{2}{e}f（2）＞f（1）$
• C． f（1）＞0
• D． f（-1）＞0

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{xf（x）}{{e}^{x}}$，求导，判断g（x）的单调性，根据单调性即可判断．

解答 解：∵g（x）=$\frac{xf（x）}{{e}^{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{f（x）-xf（x）+xf′（x）}{{e}^{x}}$，
∵f（x）+xf'（x）＜xf（x），
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在R上为减函数，
∴g（2）＜g（1），
∴$\frac{2f（2）}{{e}^{2}}$＜$\frac{f（1）}{e}$，
即$\frac{2f（2）}{e}$＜f（1），
故选：A

点评 本题主要考查导数与函数的单调性关系，以及利用条件构造函数，考查学生的解题构造能力和转化思想．