Question

6．已知函数f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）sin（x+$\frac{π}{3}$），x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，若A=$\frac{π}{4}$，c=2，且锐角C满足f（$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用诱导公式和二倍角公式将f（x）化简为f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），由周期公式求得周期T；
（Ⅱ）将f（$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$代入求得sinC的值，利用正弦定理，求得a的值，由三角形的内角和定理，求得sinB的值，利用三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}$acsinB，即可求得．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）sin（x+$\frac{π}{3}$），x∈R．
=-2cos（x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{2}$）sin（x+$\frac{π}{3}$），
=-sin[2（x+$\frac{π}{3}$）]，
=-sin（2x+$\frac{2π}{3}$），
=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，
∴函数f（x）的最小正周期T=π，
（Ⅱ）f（$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
sin[2（$\frac{C}{2}$+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{3}$]=$\frac{1}{2}$，
sinC=$\frac{1}{2}$，锐角C，C=$\frac{π}{6}$，
由正弦定理，$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，a=2$\sqrt{2}$，
B=π-（A+C）=，
sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinB=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
由三角形面积公式S，S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
=1+$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题．