Question

20．在10L水中有3个细菌，从中任取4L水，设其中含有细菌的个数为X，求：
（1）P（X=1）；
（2）X的概率分布；
（3）E（X），D（X）．（注：结果都用小数表示）

Answer 1

分析 （1）每个细菌被取的概率均为$\frac{2}{5}$，三个细菌独立，由此能求出P（x=1）．
（2）由题意X～B（3，$\frac{2}{5}$），由此能求出X的概率分布列．
（3）由X～B（3，$\frac{2}{5}$），利用二项分布的性质能求出E（X），D（X）．

解答 解：（1）∵在10L水中有3个细菌，从中任取4L水，
∴每个细菌被取的概率均为$\frac{2}{5}$，三个细菌独立，
∴P（x=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$．
（2）由题意X～B（3，$\frac{2}{5}$），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{2}{5}）^{0}（\frac{3}{5}）^{3}$=$\frac{27}{125}$，
P（x=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$．
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{3}{5}）$=$\frac{36}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{5}）^{3}$=$\frac{8}{125}$，
∴X的概率分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

（3）∵X～B（3，$\frac{2}{5}$），
∴E（X）=3×$\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$，
D（X）=3×$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{18}{25}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．