Question

如果函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，且f（2）=0，那么

f(x)-f(-x)

x

＜0解集为（　　）

• A、（-∞，-2）∪（0，2）
• B、（-2，0）∪（0，2）
• C、（-∞，-2）∪（2，+∞
• D、（-2，0）∪（2，+∞

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．

解答： 解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，
∴函数f（x）在（-∞，0）上为增函数，且f（-2）=f（2）=0，
作出函数f（x）的草图如图：
∵f（x）是奇函数，∴不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0等价为

2f(x)

x

＜0，
即

x＞0 f(x)＜0

或

x＜0 f(x)＞0

，
解得0＜x＜2或-2＜x＜0，
∴

f(x)-f(-x)

x

＜0的解集为：（-2，0）∪（0，2），
故选：B

点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，利用数形结合是解决本题的关键．