Question

（本题满分15分）已知函数.
（Ⅰ)当时，求函数的单调区间;
（Ⅱ）是否存在实数，使得函数有唯一的极值，且极值大于？若存在，,求的取值
范围；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）如果对，总有，则称是的凸
函数，如果对，总有，则称是的凹函数.当时，利用定义分析的凹凸性，并加以证明。

Answer 1

解：（Ⅰ）递增，递减；
（Ⅱ）；（Ⅲ）上为凸函数.上为凹函数.

本试题主要是考查了导数在研究函数中的 运用，求解函数的单调性，和函数的极值问题，以及函数的凸凹性的研究的综合运用。
（1）利用定义域和导数来求解函数的单调区间的问题。
（2）因为
显然才有唯一的极值点，利用这一点得到a的不等式，从而求解范围。
（3）根据新的凸函数与凹函数的定义，借助于导数的思想来判定结论。
解：（Ⅰ）当时，             ………………2分
递增，递减                            ………………4分
（Ⅱ）
显然才有唯一的极值点，它满足
                                     ………………6分
消去，得， 方程的正跟比1大
                                               ………………8分
故                                             ………………9分
（Ⅲ）在处取得最小值
故上为凸函数，上为凹函数          ………………11分
下证上为凸函数：
不妨设
令 ……13分

故在上递减，

即上为凸函数.
同理上为凹函数.                          ………………15分