Question

在各项均为正数的数列{a_n}中，S_n为前n项和，na_n+1²=（n+1）a_n²+a_na_n+1，若a₂=

π

2

，则sinS₄=（　　）

• A、

  6 - 2

  4

• B、1
• C、0
• D、

  6 + 2

  4

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：把数列递推式变形，得到

an+1

an

=

n+1

n

，结合已知分别求出a₁，a₃，a₄，进一步求得S₄，则sinS₄的值可求．

解答： 解：由na_n+1²=（n+1）a_n²+a_na_n+1，得：
（a_n+1+a_n）[na_n+1-（n+1）a_n]=0，
∵a_n＞0，
∴a_n+1+a_n＞0，
则na_n+1-（n+1）a_n=0．
即

an+1

an

=

n+1

n

．
∴

a2

a1

=2，
∵a₂=

π

2

，
∴a1=

a2

2

=

π

4

．
又

a3

a2

=

3

2

，
∴a3=

3

2

a2=

3

2

×

π

2

=

3π

4

．

a4

a3

=

4

3

，
∴a4=

4

3

a3=

4

3

×

3π

4

=π．
∴S4=a1+a2+a3+a4=

π

4

+

π

2

+

3π

4

+π=

5π

2

．
∴sinS₄=sin

5π

2

=1．
故选：B．

点评：本题考查了数列递推式，考查了三角函数值的求法，是中档题．