Question

若关于x的不等式|x-b|＞|ax|的解集中整数解恰有3个（其中0＜b＜1+a），则a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-1）
• B、（-3，-1）
• C、（1，+∞）
• D、（1，3）

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：将不等式两边平方，再由因式分解可得[（a+1）x-b]•[（a-1）x+b]＜0，由于解集中整数解恰有3个，则a＞1，则有

-b

a-1

＜x＜

b

a+1

＜1，则三个整数解为-2，-1，0．则有-3≤-

b

a-1

＜-2，结合条件b＜1+a，可得a＜3，进而得到a的范围．

解答： 解：不等式|x-b|＞|ax|即为
（ax）²-（x-b）²＜0，
即[（a+1）x-b]•[（a-1）x+b]＜0，
由于解集中整数解恰有3个，则a＞1，
则有

-b

a-1

＜x＜

b

a+1

＜1，
则三个整数解为-2，-1，0．
即-3≤-

b

a-1

＜-2，即2＜

b

a-1

≤3，
即2a-2＜b≤3a-3，
又b＜1+a，
则2a-2＜1+a，解得a＜3，
综上可得1＜a＜3．
则a的取值范围是（1，3）．
故选D．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的整数解的求法，考查不等式的性质的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．