Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥A₁D；
（Ⅱ）求点C到平面A₁BD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：几何法：
（Ⅰ）取BC中点O，连结AO，由正三角形的性质得AO⊥BC．由线面垂直的AO⊥BD，由正方形的性质得B₁O⊥BD从而得到BD⊥AB₁，由此能证明AB₁⊥A₁D．
（Ⅱ）由题意知S△A1BD=

6

，S_△BCD=1．A₁到平面BCC₁B₁的距离为

3

，由此利用等积法能求出点C到平面A₁BD的距离．
向量法：
（Ⅰ）取B₁C₁中点O₁，以O为原点，

OB

，

OO1

，

OA

的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AB₁⊥A₁D． 
（Ⅱ）求出平面A₁BD的法向量和

BC

，由此利用向量法能求出点C到平面A₁BD的距离．

解答： 几何法：
（Ⅰ）证明：取BC中点O，连结AO．
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁，∴AO⊥BD．
连结B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O，D分别为BC，CC₁的中点，∴B₁O⊥BD．
∴BD⊥平面AB₁O．∴BD⊥AB₁．（4分 ）
又在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，又BD∩A₁B=B，
∴AB₁⊥平面A₁BD．∴AB₁⊥A₁D．（6分）
（Ⅱ）解：△A₁BD中，BD=A₁D=

5

，A₁B=2

2

，
∴S△A1BD=

6

，S_△BCD=1．
在正三棱柱中，A₁到平面BCC₁B₁的距离为

3

．（9分）
设点C到平面A₁BD的距离为d．
由VA₁-BCD=VC-A₁BD得

1

3

S_△BCD•

3

=

1

3

S△A₁BD•d，（10分）
∴d=

3 S△BCD

S△A1BD

=

2

2

．
∴点C到平面A₁BD的距离为

2

2

．（12分）
向量法：
（Ⅰ）证明：取BC中点O，连结AO．
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∴AD⊥平面BCC₁B₁．
取B₁C₁中点O₁，以O为原点，

OB

，

OO1

，

OA

的方向为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D（-1，1，0），
A₁（0，2，

3

），A（0，0，

3

），B₁（1，2，0），（4分）
∴

AB1

=（1，2，-

3

），

A1D

=（-1，-1，-

3

）．
∵

AB1

•

A1D

=-1-2+3=0，∴

AB1

⊥

A1D

．
∴AB₁⊥A₁D．（6分） 
（Ⅱ）解：设平面A₁BD的法向量为

n

=（x，y，z）．

A1D

=（-1，-1，-

3

），

BD

=（-2，1，0）．
∵

n

⊥

A1D

，

n

⊥

BD

，
∴

-x-y- 3 z=0 -2x+y=0

，∴

y=2x z=- 3 x.

令x=1，得

n

=（1，2，-

3

）为平面A₁BD的一个法向量．（9分）
∵

BC

=（-2，0，0），
∴点C到平面A₁BD的距离d=

| BC • n |

| n |

=

|-2|

2 2

=

2

2

．（12分）．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．