Question

7．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，过E点作EF⊥PB交PB于点F．求证：
（1）PA∥平面EDB；
（2）PB⊥平面EFD．
（3）求三棱锥E-BCD的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于点O，连接OE，利用中位线定理得出OE∥PA，故PA∥平面EDB；
（2）由PD⊥平面ABCD得PD⊥BC，结合BC⊥CD得BC⊥平面PCD，于是BC⊥DE，结合DE⊥PC得DE⊥平面PBC，故而DE⊥PB，结合PB⊥EF即可得出PB⊥平面DEF；
（3）依题意，可得V_E-BCD=$\frac{1}{2}$V_P-BCD=$\frac{1}{6}$S_△BCD•PD．

解答 证明：（1）连接AC交BD于点O，连接OE．
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点．又E为PC的中点，
∴OE∥PA．
又EO?平面BDE，PA?平面BDE
∴PA∥平面BDE．
（2）∵PD⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC．
∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥CD．
又PD∩DC=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，
∴BC⊥平面PCD．又DE?平面PCD，
∴BC⊥DE．
∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．
又PC?平面PBC，BC?平面PBC，PC∩BC=C，
∴DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，
∴DE⊥PB． 又EF⊥PB，且PD∩DC=D，
∴PB⊥平面DEF．
（3）∵E是PC的中点，
∴V_E-BCD=$\frac{1}{2}$V_P-BCD=$\frac{1}{6}$S_△BCD•PD=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}×{2}^{2}×2$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．