Question

已知函数，其图象在点 处的切线方程为
(1)求的值；
(2)求函数的单调区间，并求出在区间[－2,4]上的最大值．

Answer 1

(1) a＝1，b＝. (2)8.

解析试题分析：(1)f′(x)＝x²－2ax＋a²－1，       2分
∵(1，f(1))在x＋y－3＝0上，∴f(1)＝2，  3分
∵(1,2)在y＝f(x)的图象上，∴2＝－a＋a²－1＋b，
又f′(1)＝－1，∴a²－2a＋1＝0，
解得a＝1，b＝.              6分
(2)∵f(x)＝x³－x²＋，∴f′(x)＝x²－2x，
由f′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的极值点，所以有

x	(－∞，0)	0	(0,2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	极大值	?	极小值	?

                              8分
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)．    10分
∵f(0)＝，f(2)＝，f(－2)＝－4，f(4)＝8，
∴在区间[－2,4]上的最大值为8.               13分
考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值。
点评：我们要灵活应用导数的几何意义求曲线的切线方程，尤其要注意切点这个特殊点，充分利用切点即在曲线方程上，又在切线方程上，切点处的导数等于切线的斜率这些条件列出方程组求解。属于基础题。