Question

已知函数f（x）=lnx-mx+1，其中m∈R，g（x）=

3

8

x²-x+1+f（x）．
（1）若f（x）≤0在f（x）的定义域内恒成立，则实数m的取值范围

 

；
（2）在（1）的条件下，当m取最小值时，g（x）在[eⁿ，+∞）（n∈Z）上有零点，则n的最大值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，若f（x）≤0在f（x）的定义域内恒成立，等价为求函数f（x）的最小值；
（2）求出g（x）的表达式，根据函数零点的判断条件，即可得到结论．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），若f（x）≤0在f（x）的定义域内恒成立，
即lnx-mx+1≤0，即m≥

1+lnx

x

，
设m（x）=

1+lnx

x

，则m′（x）=

-lnx

x2

，
当x＞1时，m′（x）=

-lnx

x2

＜0，
当0＜x＜1时，m′（x）=

-lnx

x2

＞0，
则当x=1时，m（x）取得极大值，同时也是最大值m（1）=1
∴m≥1．
（2）由（1）知m=1，
则g（x）=

3

8

x²-x+1+f（x）=

3

8

x²-2x+2+lnx，（x＞0）．
∴g′（x）=

(3x-2)(x-2)

4x

，
故g（x）在（0，

2

3

]，[2，+∞）上递增，在（

2

3

，2）上递减．
所以在[

2

3

，+∞）上g（x）的最小值为g（2），
而g（2）=ln2-

1

2

＞0，故g（x）在[

2

3

，+∞）上没有零点．
所以g（x）的零点一定在递增区间（0，

2

3

）上，从而有eⁿ＜

2

3

且g（eⁿ）≤0．
又g（e^-1）=

3+8(e2-2e)

8e2

＞0，g（e^-2）=

3-16e2

8e4

＜0，
当n≤-2时均有g（x）＜0，即n的最大值为-2．
故答案为：m≥1，-2

点评：本题主要考查函数恒成立的求解，利用导数和函数最值之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．