Question

20．用数学归纳法证明：2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4（n∈N^*）能被25整除．

Answer 1

分析 先验证n=1时命题是否成立，假设n=k时，命题成立，推导验证n=k+1时命题成立即可．

解答 证明：（1）当n=1时，2¹⁺²•3¹+5×1-4=25，能被25整除，命题成立．
（2）假设n=k（k∈N^*）时，2^k+2•3^k+5k-4能被25整除．
那么n=k+1时，原式=2^k+3•3^k+1+5（k+1）-4
=6×2^k+2•3^k+5（k+1）-4
=6[（2^k+2•3^k+5k-4）-5k+4]+5（k+1）-4
=6（2^k+2•3^k+5k-4）-30k+24+5k+5-4
=6（2^k+2•3^k+5k-4）-25（k-1）．
∵6（2^k+2•3^k+5k-4）、-25（k-1）能被25整除，
∴n=k+1时，命题成立．
综上，2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4（n∈N^*）能被25整除．

点评 本题考查了数学归纳法证明，掌握证明步骤，由n=k成立推导n=k+1是证明的关键，属于中档题．