Question

10．过点A（0，a）作直线与圆E：（x-2）²+y²=1交于B，C两点，在线段BC上取满足BP：PC=AB：AC的点P．
（Ⅰ）求P点的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线2x-ay-3=0与圆E交于M、N两点，求△EMN（E为圆心）面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）设AB方程为y=kx+a，与圆的方程联立得（1+k²）x²+（2ak-4）x+a²+3=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出点P轨迹方程．
（II）求出圆心E到直线MN的距离，得$|{MN}|=2\sqrt{1-{h^2}}$，由此能求出S_△EMN的最大值．

解答 解：（I）设AB方程为y=kx+a，与圆的方程联立得（1+k²）x²+（2ak-4）x+a²+3=0
设B，C两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=-\frac{2ak-4}{{1+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{{a^2}+3}}{{1+{k^2}}}$…（2分）
设P点坐标为（x，y），∵$\frac{BP}{PC}=\frac{AB}{AC}$，∴$\frac{{x-{x_1}}}{{{x_2}-x}}=\frac{x_1}{x_2}$…（3分）
∴$x=\frac{{2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}=\frac{{{a^2}+3}}{2-ak}$，∴$y=kx+a=\frac{2a+3k}{2-ak}$…（4分）
消去k，得2x-ay-3=0，
∴点P轨迹方程是2x-ay-3=0（在圆内部分）．…（6分）
（II）圆心E到直线MN的距离为$h=\frac{1}{{\sqrt{{a^2}+4}}}$…（7分）
∴$|{MN}|=2\sqrt{1-{h^2}}$…（8分）
∴${S_{△EMN}}=\frac{1}{2}•2\sqrt{1-{h^2}}•h=\sqrt{{h^2}（1-{h^2}）}=\sqrt{-{h^4}+{h^2}}=\sqrt{-{{（{h^2}-\frac{1}{2}）}^2}+\frac{1}{4}}$…．（10分）
∵$h∈（0，\frac{1}{2}]$∴当$h=\frac{1}{2}$时，S_△EMN取得最大，最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式的合理运用．