Question

8．已知A={x|-2≤x≤2}．B={x|sinx=a}．
（1）当a=1时．求A∩B：
（2）若B⊆A恒成立．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出集合B中的x的取值，取交集即可；（2）根据正弦函数的图象和性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=1时，sinx=1，x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴A∩B={$\frac{π}{2}$}；
（2）若B⊆A恒成立，
则-2≤x≤2，
而y=sinx在[0，$\frac{π}{2}$）递增，在（$\frac{π}{2}$，2]递减，
∴x=$\frac{π}{2}$时，y=sinx最大，最大值是1，
x=0时，y=sinx最小，最小值是0，
故x∈[0，2]时，a∈[0，1]，
y=sinx在[-2，-$\frac{π}{2}$）递减，在（-$\frac{π}{2}$，0]递增，
∴x=0时，y=sinx最大，最大值是0，
x=-$\frac{π}{2}$时，y=sinx最小，最小值是-1，
故x∈[-2，0]时，a∈[-1，0]，
若a＞1或a＜-1，集合B=∅，满足B⊆A．
综上：a∈R．

点评 本题考查了集合的运算，考查三角函数的性质，是一道基础题．