Question

9．已知圆C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0，则圆心C的轨迹方程为2x+y-6=0，直线l经过点（-1，1），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线l的一般式方程为2x+y+1=0．

Answer 1

分析 利用配方法将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标再由消参法，消去m求出圆心C的轨迹方程；根据弦长是定值可得直线l与圆心所在直线平行，由平行条件设直线l的方程，把点（-1，1）可得结论．

解答 解：将圆C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0化为标准式得
[x-（3-m）]²+（y-2m）²=9，∴圆心C（3-m，2m），
令x=3-m，y=2m，消去m得2x+y-6=0，
∴圆心C的轨迹方程是直线2x+y-6=0；
又∵直线l经过点（-1，1），
∵对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，
∴直线l与圆心所在直线平行，
∴设l方程为2x+y+C=0，将（-1，1）代入得C=1，
∴直线l的方程为2x+y+1=0，
故答案为：2x+y-6=0；2x+y+1=0．

点评 本题考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，考查分析、解决问题的能力，属于中档题．