Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点P（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{1}{2}$）在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过椭圆C的左焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）

Answer 1

分析 （1）由离心率公式求得a与b关系，将P点坐标代入椭圆方程，即可求得a和b的值，取出椭圆的方程；
（2）由题意可知，设出直线l的方程，及A和B点坐标，代入椭圆方程，求得关于y的一元二次方程，由韦达定理求得y₁+y₂和y₁•y₂的关系，根据三角形面积公式即可求得△AOB的面积，化简由基本不等式即可求得△AOB面积的最大值．

解答 解：（1）∵e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a²=2b²，①
又点P（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{1}{2}$）在椭圆上，
∴$\frac{3}{2{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1$②，
由①②得：a=$\sqrt{2}$，b=1，
故椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
（2）由（1）可知：F（-1，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线l的方程为，x=ky-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x，整理得：（k²+2）y²-2ky-1=0，
由韦达定理可知：y₁+y₂=$\frac{2k}{{k}^{2}+2}$，y₁•y₂=-$\frac{1}{{k}^{2}+1}$，
∴S_△AOB=S_△AOF+S_△BOF=$\frac{1}{2}$•|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，
=$\frac{1}{2}$$\frac{\sqrt{8{k}^{2}+8}}{{k}^{2}+2}$，
=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}+2}$，
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{[（{k}^{2}+1）+1]^{2}}}$，
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{（{k}^{2}+1）^{2}+2（{k}^{2}+1）+1}}$，
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}+1+\frac{1}{{k}^{2}+1}+2}}$≤$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{1}{2+2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（当且仅当k²+1=$\frac{1}{{k}^{2}+1}$，即k=0时，等号成立），
∴△AOB的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形的面积公式及基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．