Question

2．已知椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$内一点P（2，1），直线过点P且与椭圆相交两点，则以P为中点的直线方程为32x-25y-89=0．

Answer 1

分析 设过P点的直线与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法能求出以P为中点的直线方程．

解答 解：设过P点的直线与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵P（2，1）是AB的中点，∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆方程：16x²+25y²=400，得：
$\left\{\begin{array}{l}{16{{x}_{1}}^{2}+25{{y}_{1}}^{2}=400}\\{16{{x}_{2}}^{2}+25{{y}_{2}}^{2}=400}\end{array}\right.$，两式相减，并整理，得：
16（x₁+x₂）（x₁-x₂）-25（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴64（x₁-x₂）-50（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{64}{50}$=$\frac{32}{25}$，
∴以P为中点的直线方程为y=$\frac{32}{25}$（x-2）-1，即32x-25y-89=0．
∴以P为中点的直线方程为32x-25y-89=0．
故答案为：32x-25y-89=0．

点评 本题考查椭圆方程的中点弦所在直线方程求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．