Question

定义函数f（x）=[x•[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1.3]=1，[-2.5]=-3，当x∈[0，n）（n∈N^*）时，设函数f（x）的值域为集合A，设A中元素个数为a_n，则使

an+49

n

取最小值时，n的值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：当x∈[0，1），[x]=0，∴f（x）=[x•[x]]=[0]=0，此时当n=1时，A={0}，a₁=1；当x∈[1，2），[x]=1，∴f（x）=[x•[x]]=[x]=1，因此当n=2时，A={0，1}，a₂=2；
当x∈[2，3），[x]=2，∴f（x）=[x•[x]]=[2x]=

4，x∈[2， 5 2 ) 5，x∈[ 5 2 ，3)

，因此当n=3时，A={0，1，4，5}，a₃=4；…，可得取x∈[0，n）时，a_n=

n2-n+2

2

．代入再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：当x∈[0，1），[x]=0，∴f（x）=[x•[x]]=[0]=0，此时当n=1时，A={0}，a₁=1；
当x∈[1，2），[x]=1，∴f（x）=[x•[x]]=[x]=1，因此当n=2时，A={0，1}，a₂=2；
当x∈[2，3），[x]=2，∴f（x）=[x•[x]]=[2x]=

4，x∈[2， 5 2 ) 5，x∈[ 5 2 ，3)

，因此当n=3时，A={0，1，4，5}，a₃=4；
当x∈[3，4），[x]=3，∴f（x）=[x•[x]]=[3x]=

9，x∈[3， 10 3 ) 10，x∈[ 10 3 ， 11 3 ) 11，x∈[ 11 3 ，4)

，因此当n=4时，A={0，1，4，5，9，10，11}，a₄=7；
…，

取x∈[0，n）时，a_n=

n2-n+2

2

．

∴

an+49

n

=

n2-n+2 2 +49

n

=n+

100

n

-1≥2

n• 100 n

-1=19，当n=10时取得最小值．
故答案为：10．

点评：本题考查了“取整函数[x]”的性质、归纳法、基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．