【题目】已知函数f(x)=sinx﹣xcosx.
(1)讨论f(x)在(0,2π)上的单调性;
(2)若关于x的方程f(x)﹣x2+2πx﹣m=0在(0,2π)有两个根,求实数m的取值范围.
(3)求证:当x∈(0, )时,f(x)<
x3 .
【答案】
(1)解:f′(x)=cosx﹣(cosx﹣xsinx)=xsinx,
f'(x)>0x∈(0,π),f'(x)<0
x∈(π,2π)f(x)的递增区间(0,π),递减区间(π,2π);
(2)解:f(x)=x2﹣2πx+m,
设h(x)=x2﹣2πx+m=(x﹣π)2+m﹣π2,
由 ,解得,0<m<π2+π;
(3)证明:令g(x)=f(x)﹣ x3,
则g′(x)=x(sinx﹣x),
当x∈(0, )时,设t(x)=sinx﹣x,则t′(x)=cosx﹣1<0,
所以t(x)在x∈(0, )单调递减,t(x)=sinx﹣x<t(0)=0,
即sinx<x,所以g′(x)<0,
所以g(x)在(0, )上单调递减,所以g(x)<g(0)=0,
所以f(x)< x3
【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)设h(x)=x2﹣2πx+m=(x﹣π)2+m﹣π2 , 根据二次函数的性质求出m的范围即可;(3)令g(x)=f(x)﹣ x3 , 求出函数的导数,根据函数的单调性求出g(x)<0,从而证出结论即可.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减才能得出正确答案.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=sin2xcos2x+sin22x﹣ .
(1)求函数f(x)的最小正周期及对称中心;
(2)在△ABC中,角B为钝角,角A,B,C的对边分别为a、b、c,f( )=
,且sinC=
sinA,S△ABC=4,求c的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax﹣a﹣x+2,若g(2)=a,则f(2)=( )
A.2
B.
C.
D.a2
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且Sn=n2+n.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)数列{bn}满足bn= (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】甲罐中有3个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有5个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以,
和
表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以
表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是__________(写出所有正确结论的序号).
①P(B)=;②
;
③事件B与事件A1相互独立;
④A1,A2,A3是两两互斥的事件;
⑤P(B)的值不能确定,因为它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在对人们休闲方式的一次调查中,其中主要休闲方式的选择有看电视和运动,现共调查了100人,已知在这100人中随机抽取1人,抽到主要休闲方式为看电视的人的概率为。
(1)完成下列2×2列联表;
休闲方式为看电视 | 休闲方式为运动 | 合计 | |
女性 | 40 | ||
男性 | 30 | ||
合计 |
(2)请判断是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与休闲方式有关系?
参考公式
P(K2≥k) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
k | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了整顿食品的安全卫生,食品监督部门对某食品厂生产的甲、乙两种食品进行了检测调研,检测某种有害微量元素的含量,随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品,每个批次各随机地抽取了一件,下表是测量数据的茎叶图(单位:毫克)
规定:当食品中的有害微量元素含量在[0,10]时为一等品,在(10,20]为二等品,20以上为劣质品.
(1)用分层抽样的方法在两组数据中各抽取5个数据,再分别从这5个数据中各选取2个.求甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率;
(2)每生产一件一等品盈利50元,二等品盈利20元,劣质品亏损20元.根据上表统计得到的甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品,的频率分别估计这两种食品为,一等品、二等品、劣质品的概率.若分别从甲、乙食品中各抽取l件,设这两件食品给该厂带来的盈利为X,求随机变量X的概率分布和数学期望.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则( )
A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com