Question

已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若f′（x）满足

f′(x)-f(x)

x-1

＞0，y=

f(x)

ex

关于直线x=1对称，则不等式

f(x2-x)

ex2-x

＜f（0）的解集是（　　）

• A、（-1，2）
• B、（1，2）
• C、（-1，0）∪（1，2）
• D、（-∞，0）∪（1，+∞）

Answer 1

考点：导数的运算,其他不等式的解法

专题：导数的综合应用

分析：令g（x）═

f(x)

ex

，求出导函数，当x＞1时，f′（x）-f（x）＞0则g′（x）＞0，判定出g（x）在（1，+∞）上单增；据y=

f(x)

ex

关于直线x=1对称，将不等式中的抽象函数符号去掉，解出x即可．

解答： 解：令g（x）═

f(x)

ex

，
∴g′(x)=

f′(x)-f(x)

ex

，
∵

f′(x)-f(x)

x-1

＞0，
当x＞1时，f′（x）-f（x）＞0则g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上单增；
当x＜1时，f′（x）-f（x）＜0则g′（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，1）上单减；
∵g（0）=f（0），
∴不等式

f(x2-x)

ex2-x

＜f（0）即为不等式g（x²-x）＜g（0），
∵y=

f(x)

ex

关于直线x=1对称，
∴|x²-x|＜0
∴|x²-x-1|＜1
解得-1＜x＜0或1＜x＜2
故选C．

点评：本题考查利用导数的符号判定函数的单调性；考查利用函数的单调性解抽象不等式，属于难题．