Question

2．设命题P：关于x的不等式${a^{{x^2}-ax-2{a^2}}}$＞1（a＞0且a≠1）的解集为{x|-a＜x＜2a}；命题Q：f（x）=lg（ax²-x+a）的值域为R．如果P且Q为真，则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由复合命题P且Q的真假，先判断出简单命题P、Q均为真命题．再依命题P为真命题对a分类讨论确定大致范围，指数不等式求解可采用单调性法．命题Q中，对数函数值域为R可转化为真数能取到（0，+∞）所有值．

解答 ∵P且Q为真命题，∴命题P与命题Q均为真命题．
若a＞1，命题P的不等式可转化为x²-ax-2a²＞0，解集为：{x|x＜-a或x＞2a}，不合题意．
若0＜a＜1，命题P成立．此时只需满足命题Q成立即可．
命题Q：函数的值域为R，则真数ax²-x+a能取到所有的正数，即ax²-x+a≤0有解
∴△≥0 即1-4a²≥0解得-$-\frac{1}{2}≤a≤\frac{1}{2}$，又∵0＜a＜1
所以答案为（0，$\frac{1}{2}$]

点评 考查了复合命题的真假问题，指对数函数的性质．考查函数思想、化归思想．属于中档题