Question

1．已知a，b，c都是正数，
（1）若a+c=1，试比较a³+a²c+ab²+b²c与a²b+abc的大小；
（2）若a²+b²+c²=1，求证：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}$-$\frac{2（{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}）}{abc}$≥3．

Answer 1

分析 （1）将两个式子作差变形，通过提取公因式，判断符号，得出大小关系；
（2）利用配方法证明即可．

解答 解：（1）∵a，b，c都是正数，且a+c=1，
∴a³+a²c+ab²+b²c-a²b-abc=（a²+b²-ab）（a+c）=$（a-\frac{b}{2}）^{2}+\frac{3}{4}{b}^{2}$＞0，
所以a³+a²c+ab²+b²c＞a²b+abc； …6分
证明：（2）∵a，b，c都是正数，且a²+b²+c²=1，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}$-$\frac{2（{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}）}{abc}$=3+$（\frac{a}{b}-\frac{a}{c}）^{2}+（\frac{b}{a}-\frac{b}{c}）^{2}+（\frac{c}{a}-\frac{c}{b}）^{2}$≥3
当且仅当a=b=c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$取得等号，即$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}$-$\frac{2（{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}）}{abc}$≥3…14分．

点评 用作差的方法比较两个式子的大小，注意将差化为因式积的形式，以便于判断符号．