Question

7．设函数$f（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}$，
（1）求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）证明：对任意a＞0，当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）-1|＜a．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，切点坐标，即可求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）$|{f（x）-1}|=|{\frac{{{e^x}-1-x}}{x}}|=\frac{{|{{e^x}-1-x}|}}{|x|}$，构造函数，确定函数的单调性，即可证明结论．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{{{e^x}x-（{{e^x}-1}）}}{x^2}$，f'（1）=1，f（1）=e-1，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y-e+1=x-1，即x-y+e-2=0
（2）证明：$|{f（x）-1}|=|{\frac{{{e^x}-1-x}}{x}}|=\frac{{|{{e^x}-1-x}|}}{|x|}$，
设ϕ（x）=e^x-1-x，ϕ'（x）=e^x-1，ϕ'（x）＞0?x＞0，
故ϕ'（x）在（-∞，0）内递减，在（0，+∞）内递增，
∴ϕ（x）≥ϕ（0）=0即e^x-1-x≥0，
当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）-1|＜a?（e^x-1-x）＜a|x|，
即当0＜x＜ln（1+a）时，e^x-1-（1+a）x＜0，（Ⅰ）
当-ln（1+a）＜x＜0时，e^x-1-（1-a）x＜0，（Ⅱ）
令函数g（x）=e^x-1-（1+a）x，h（x）=e^x-1-（1-a）x
注意到g（0）=h（0）=0，故要证（Ⅰ），（Ⅱ），
只需要证g（x）在（0，ln（1+a））内递减，h（x）在（-ln（1+a），0）递增
当0＜x＜ln（1+a）时，g'（x）=e^x-（1+a）＜e^ln（1+a）-（1+a）=0
当-ln（1+a）＜x＜0时，$h（x）={e^x}-（{1-a}）＞{e^{-ln（{1+a}）}}-（{1-a}）=\frac{a^2}{1+a}＞0$
综上，对任意a＞0，当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）-1|＜a．

点评 本题考查导数的运用：求函数的单调性，考查函数的单调性的运用，考查导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题．