Question

直线3x-4y+4=0与抛物线x²=4y和圆x²+（y-1）²=1从左到右的交点依次为A，B，C，D，则

|AB|

|CD|

的值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：由题意可得直线3x-4y+4=0过抛物线的焦点（即圆的圆心）F（0，1）点，由

x2=4y 3x-4y+4=0

求得4y²-17y+4=0，可得y₁+y₂=

17

4

，y₁•y₂=1，求得y₁和y₂的值，再根据

|AB|

|CD|

=

|AF|-1

|DF|-1

=

( y1+1)-1

(y2+1)-1

=

y1

y2

计算求得结果．

解答： 解：由已知圆的方程为x²+（y-1）²=1，抛物线x²=4y的焦点为（0，1），
直线3x-4y+4=0过（0，1）点，则|AB|+|CD|=|AD|-2，
由

x2=4y 3x-4y+4=0

 求得4y²-17y+4=0．
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则y₁+y₂=

17

4

，y₁•y₂=1．
∴y₁=

1

4

，y₂=4，∴

|AB|

|CD|

=

|AF|-1

|DF|-1

=

( y1+1)-1

(y2+1)-1

=

y1

y2

=

1

16

，
故答案为：

1

16

．

点评：本题考查圆锥曲线和直线 的综合运用，解题时要注意合理地进行等价转化，属于基础题．