Question

6．已知直线l的方程为mx-y+1-m=0，圆C的方程为x²+（y-1）²=5．
（1）证明：直线l与圆C相交；
（2）已知D（-2，0），E（2，0）为x轴上的两点，若圆C内的动点P使|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，求$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用直线系方程求出直线所过定点，判断定点在圆C内看到直线l与圆C相交；
（2）设P（x，y），由|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，得到x²-y²=2，写出$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²-4+y²=2（y²-1），结合点P在圆C内，得到关于y的不等式，求解不等式得到y的范围，进一步求得$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$的取值范围．

解答 （1）证明：由mx-y+1-m=0，得y=（m-1）x+1，
∴直线l必过定点G（1，1），
又1²+（1-1）²＜5，∴点G在圆C内部，
∴直线l与圆C相交；
（2）解：设P（x，y），由|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，
得$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}={x}^{2}+{y}^{2}$，即x²-y²=2，
∴$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²-4+y²=2（y²-1）．
由于点P在圆C内，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（y-1）^{2}＜5}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$．
由此得y²-y-1＜0，解得：$\frac{1-\sqrt{5}}{2}＜y＜\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故$0≤{y}^{2}＜（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．
∴$2（{y}^{2}-1）∈[-2，1+\sqrt{5}）$．
∴$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$的取值范围是$[-2，1+\sqrt{5}）$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，考查向量数量积的坐标运算，考查推理论证能力及运算能力，是中档题．